Tabela prawdy

Czym jest tabela prawdy:

Tabela prawdy lub tabela prawdy to narzędzie matematyczne szeroko stosowane w dziedzinie logicznego rozumowania. Jego celem jest weryfikacja logicznej ważności złożonej propozycji (argumentu utworzonego przez dwie lub więcej prostych propozycji).

Przykłady propozycji złożonych:

John jest wysoki, a Maria krótka.
Pedro jest wysoki lub Joana jest blondynką.
Jeśli Pedro jest wysoki, Joana jest czerwona.

Każda z powyższych propozycji składa się z dwóch prostych zdań połączonych pogrubioną czcionką. Każde proste twierdzenie może być prawdziwe lub fałszywe, a to będzie bezpośrednio oznaczać logiczną wartość propozycji złożonej. Jeśli przyjmiemy zdanie „ John jest wysoki, a Mary jest niska ”, możliwe wartości tego oświadczenia będą następujące:

Jeśli Jan jest wysoki, a Maryja niska, wyrażenie „Jan jest wysoki, a Maryja niska” jest PRAWDZIWE.
Jeśli Jan jest wysoki, a Maryja niska, wyrażenie „Jan jest wysoki, a Maryja niska” jest FAŁSZEM.
Jeśli Jan nie jest wysoki, a Maryja niska, wyrażenie „Jan jest wysoki, a Maryja niska” jest FAŁSZEM.
Jeśli Jan nie jest wysoki i Maryja nie jest niska, wyrażenie „Jan jest wysoki, a Maryja niska” jest FAŁSZEM.

Tabela prawdy przedstawia schematycznie to samo rozumowanie (patrz temat Conjunction poniżej) bardziej bezpośrednio. Ponadto reguły tabeli prawdy można stosować niezależnie od liczby zdań w zdaniu .

Jak to działa?

Najpierw zamień zdania pytania na symbole używane w logice. Powszechnie używana lista symboli to:

Symbol	Operacja logiczna	Znaczenie	Przykład
str	.	Twierdzenie 1	p = John jest wysoki.
q	.	Twierdzenie 2	q = Maryja jest niska.
~	Zaprzeczenie	nie	Jeśli John jest wysoki, „ ~ p ” jest FAŁSZ.
^	Połączenie	i	p ^ q = Jan jest wysoki, a Maryja niska.
v	Rozłączenie	lub	p v q = John jest wysoki lub Mary jest niska.
→	Warunkowe	jeśli tak, to	p → q = Jeśli Jan jest wysoki, wtedy Mary jest niska.
(Tj.	Dwustopniowy	jeśli i tylko wtedy	p ↔ q = Jan jest wysoki wtedy i tylko wtedy, gdy Mary jest niska.

Następnie umieszcza się tabelę ze wszystkimi możliwościami wyceny złożonej propozycji, zastępując afirmacje symbolami. Warto wyjaśnić, że w przypadkach, gdy istnieje więcej niż dwie propozycje, mogą być one symbolizowane literami r, s i tak dalej.

Na koniec stosowana jest operacja logiczna zdefiniowana przez pokazany łącznik. Zgodnie z powyższą listą, tymi operacjami mogą być: odmowa, koniunkcja, rozłączenie, warunkowe i dwuwarstwowe.

Zaprzeczenie

Odmowa jest symbolizowana przez ~. Logiczna operacja zaprzeczania jest najprostsza i często zwalnia użycie tabeli prawdy. Podążając za tym samym przykładem, jeśli John jest wysoki (p), aby powiedzieć, że John nie jest wysoki (~ p), jest FAŁSZ i vice versa.

Połączenie

Koniunkcja jest symbolizowana przez ^ . Przykład „John jest wysoki, a Mary jest niska” będzie symbolizowany przez „p ^ q”, a tabela prawdy będzie:

Koniunkcja sugeruje ideę akumulacji, więc jeśli jedno z prostych twierdzeń jest fałszywe, niemożliwe jest, aby złożone twierdzenie było prawdziwe.

Wniosek : złożone zdania złożone (zawierające łącznik e ) będą prawdziwe tylko wtedy, gdy wszystkie ich elementy będą prawdziwe.

Przykład:

Paulo, Renato i Tulio są mili i Caroline jest zabawna. - Jeśli Paulo, Renato lub Tulio nie są mili lub Karolina nie jest zabawna, propozycja będzie FAŁSZA. Konieczne jest, aby wszystkie informacje były prawdziwe, aby propozycja złożona była PRAWDA.

Rozłączenie

Rozłączenie jest symbolizowane przez v . Wymiana łącznika z powyższego przykładu na lub będziemy mieli „John jest wysoki lub Mary jest niska”. W tym przypadku zdanie będzie symbolizowane przez „p v q”, a tabela prawdy będzie:

Rozłączenie implikuje ideę naprzemienności, więc wystarczy, że jedno z prostych twierdzeń jest prawdziwe, aby związek był również.

Wniosek : rozłączne zdania złożone (zawierające lub łączące) będą fałszywe tylko wtedy, gdy wszystkie ich elementy będą fałszywe.

Przykład:

Moja matka, mój ojciec lub mój wujek podarują mi prezent. - Aby stwierdzenie było PRAWDZIWE, wystarczy, że tylko jeden między matką, ojcem lub wujkiem daje prezent. Propozycja będzie FAŁSZA, jeśli żadna z nich jej nie daje.

Warunkowe

Warunek jest symbolizowany przez →. Wyrażają to same łączniki , a następnie łączą proste twierdzenia w związku przyczynowym. Przykład „Jeśli Paulo to Carioca, to jest Brazylijczykiem” staje się „p → q”, a tabela prawdy będzie:

Warunki warunkowe mają jeden poprzednik i jedną następczą propozycję , oddzielone następnie łącznikiem. W analizie warunków warunkowych konieczna jest ocena przypadków, w których twierdzenie może być możliwe, biorąc pod uwagę relację implikacji między poprzednikiem a następcą.

Wniosek : Warunkowe zdania złożone (zawierające łączniki, jeśli i tylko) będą fałszywe, jeśli pierwsze twierdzenie jest prawdziwe, a drugie twierdzenie fałszywe.

Przykład:

Jeśli Paulo jest Carioca, to jest Brazylijczykiem. - Aby propozycja ta mogła być uznana za PRAWDZIWĄ, należy ocenić przypadki, w których jest ona MOŻLIWA. Zgodnie z powyższą tabelą prawdy mamy:

Paulo jest Brazylijczykiem / Paulo jest Brazylijczykiem = MOŻLIWY
Paulo to carioca / Paulo nie jest Brazylijczykiem = NIEMOŻLIWE
Paulo nie jest z Carioca / Paulo jest Brazylijczykiem = MOŻLIWY
Paulo nie jest Carioca / Paulo nie jest Brazylijczykiem = MOŻLIWY

Dwustopniowy

Dwubiegunowy symbolizowany jest przez ↔. Jest czytany przez łączniki wtedy i tylko wtedy, gdy łączą proste zdania w relację równoważności. Przykład „John jest szczęśliwy, jeśli Maria się uśmiecha”. staje się „p ↔ q”, a tabela prawdy będzie:

Dwuwarstwowa zasada sugeruje współzależność. Jak sama nazwa wskazuje, dwuwarstwowy składa się z dwóch warunków: jednego, który odchodzi od p do q (p → q), a drugi w przeciwnym kierunku (q → p).

Wniosek : Zdania złożone w sposób dwuwarstwowy (zawierające łączniki wtedy i tylko wtedy ) będą prawdziwe tylko wtedy, gdy wszystkie zdania są prawdziwe lub wszystkie zdania są fałszywe.

Przykład:

Jan jest szczęśliwy wtedy i tylko wtedy, gdy Maria się uśmiecha. - Oznacza to, że:

Jeśli John jest szczęśliwy, Maria uśmiecha się i jeśli Maria się uśmiecha, John jest szczęśliwy = PRAWDA
Jeśli João nie jest szczęśliwy, Maria nie uśmiecha się i jeśli Maria się nie uśmiecha, João nie jest szczęśliwy = PRAWDA
Jeśli Jan jest szczęśliwy, Mary nie uśmiecha się = FAŁSZ
Jeśli John nie jest szczęśliwy, Maria uśmiecha się = FAŁSZ

Ogólny przegląd

Naukowcy tabeli prawdy często zapamiętują wnioski z każdej operacji logicznej. Aby zaoszczędzić czas na rozwiązywanie problemów, zawsze pamiętaj, że:

Conjunctive Propositions: Będą prawdziwe tylko wtedy, gdy wszystkie elementy będą prawdziwe.
Zdania rozłączne: będą fałszywe tylko wtedy, gdy wszystkie elementy są fałszywe.
Zdania warunkowe: Będą fałszywe tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie fałszywe.
Zdania dwupunktowe: będą prawdziwe tylko wtedy, gdy wszystkie elementy są prawdziwe lub wszystkie elementy są fałszywe.